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Distribution granulométrique - Représentation        
                       
1   Introduction:                
      L'analyse des échantillons de matériaux dans l'industrie du ciment, soit par tamisage à sec ou humide, ou par laser
      est très étendue.              
      Les résultats de ces analyses doivent ensuite être étudiés et interprétés par l'Ingénieur de Procédés.  
      Cinq méthodes sont souvent utilisées pour interpréter les résultats d'une analyse granulométrique: linéaire,
      linéaire + échelle logarithmique pour l'axe X, logaritmique - Normal, Gaudin - Schuhmann et distributions de
      Rosin - Rammler.              
      Les cinq méthodes sont décrites ci-dessous.          
                       
2   Distribution linéaire:              
    - Il s'agit de la représentation la plus simple.          
    - Exemple:
 
             
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
    - Les axes X et Y sont linéaires.            
    - Cette répartition linéaire n'est pas très utilisée dans l'industrie du ciment.      
    - Il est difficile d'interpréter quelque chose avec ce genre de courbe.      
    - Cette représentation peut être valable pour comparer différents échantillons.    
    - Cette méthode est celle utilisée dans le calculateur de  la courbe de Tromp:      
      http://www.thecementgrindingoffice.com/fr/tromp.html        
      parce que le convertisseur HTML n'est pas en mesure de représenter les graphiques plus complexes.  
                       
3   Distribution linéaire avec échelle logarithmique pour l'axe X:      
    - Cette représentation est très commune et largement utilisée.        
    - Exemple:            
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
    - L'axe X a une échelle logarithmique.            
    - L'axe Y a une échelle linéaire.            
    - Il est difficile d'interpréter quelque chose avec ce genre de courbe.      
    - Cette représentation peut être valable pour comparer différents échantillons.    
                       
4   Distribution Logarithmique - Normale:          
    - L'axe des Y est une probabilité de passants cumulés en %. Il utilise donc une échelle de probabilité.
    - Voir l'explication complète d'une distribution log - normale dans Wikipedia:    
      http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_log-normale  
    - Exemple:              
        Tamis en µ Passants cumulés en %            
        1 7,6            
        4 19,5            
        16 46,8            
        32 75            
        48 88,7            
        64 97,2            
        96 99,7            
        200 100            
                       
                       
    - L'axe X est logarithmique.            
    - Un papier spécial est nécessaire pour tracer un graphique.        
    - Mais il est possible de créer une telle distribution dans un logiciel comme Excel avec quelques efforts.
                       
5   Distribution Gaudin - Schuhmann:            
    - L'équation Gaudin-Schumann utilisée pour déterminer la distribution granulométrique est la suivante:  
     
             
                   
                   
      Où:                
      P = masse passante (%)              
      x = la taille des particules en microns            
      k = taille de référence lorsque P = 100            
      m = pente de la courbe log-log P vs x            
    - Modifiant les deux côtés de l'équation ci-dessus avec des logs, nous avons:      
     
           
      et          
                 
     
         
               
      et:                 
     
           
                 
      Où:                
      C = intersection de la ligne à l'origine            
    - Dans un graphique log-log, la distribution Gaudin-Schuhmann devrait être une ligne droite.  
    - Exemple:                
                     
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                     
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
    - Lorsque la distribution Gaudin - Schuhmann est tracée (ligne bleue dans le graphique ci-dessus), il est encore
      nécessaire de calculer une courbe de tendance (ou une régression linéaire) dans le but de connaître la pente
      de la PSD (distribution granulométrique).          
    - Dans l'exemple, m = 0,5273 avec une faible corrélation.        
    - A noter que le calcul de régression linéaire est expliqué ci-dessous.      
                       
6   Distribution Rosin - Rammler - Bennett (RRB):          
    - Aussi appelée distribution Rosin - Rammler - Sperling - Bennett (RRSB).      
    - Aussi appelée distribution de Weibull.          
    - C'est probablement la distribution la plus connue dans le secteur de l'exploitation minière et du ciment.
    - RRB est largement utilisé pour analyser tous les types de matériaux, concassés ou pas, broyés ou pas.  
    - La fonction RRB conventionnelle est décrite par:          
     
             
      (Equation principale de RRB)        
                   
      où:                
      R = masse retenue en%              
      x = taille en microns              
      m = pente de la courbe              
      a = taille à 36,8% des particules retenues (36,8 est le rapport 100/E et E est le nombre de Neper - 2,718)  
    - De l'équation ci-dessus de, on obtient:          
     
             
                   
                   
    - Modifiant les deux côtés de l'équation ci-dessus avec des logs, nous avons:      
       
         
                 
                 
       
       
      et:        
               
       
     
      et:      
             
       
         
      et:          
                 
    - Le paramètre de taille a peut être déterminé en classant un matériau donné, sur une maille de dimension a = x.
      Cette substitution dans l'équation principale ci-dessus va produire une constante de 36,8% de matière retenue.
    - La représentation RRB avec échelles log.log et log devrait être une ligne droite.    
    - Exemple:                
                     
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
     
 
               
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
    - Nous pouvons voir qu'il est nécessaire de modifier l'axe X et Y afin d'obtenir une représentation lisible et intelligible.
    - Sur l'axe des X par exemple, 0 doivent être remplacés par 1, 1 par 10, etc...      
    - Sur l'axe des Y, -1,5 doit être remplacé par 7% de résidus cumulés, -1 par 20,6%, etc...    
    - Lorsque la distribution RRB est tracée (ligne bleue dans le graphique ci-dessus), il est encore nécessaire de calculer
      une courbe de tendance (ou une régression linéaire) dans le but de connaître la pente de la PSD (distribution
      granulométrique).              
    - Dans l'exemple, m = 0,9055 avec une corrélation normale.        
    - La pente de la PSD d'un ciment, par exemple, est un facteur important et pris en considération.  
      Plus la pente est plus forte et plus serrée est la distribution granulométrique.    
    - Une PSD serrée signifie moins de particules fines de (<3 microns) et moins de particules plus grosses (> 32 microns).
    - Une PSD serrée peut être obtenue avec un bon séparateur.        
    - Le calculateur RRB du site n'a pas la bonne échelle en raison des limitations du convertisseur Excel.  
        http://www.thecementgrindingoffice.com/fr/rrb.html      
    - Au contraire, le calculateur qui est disponible dans le logiciel Tromp RRB Kit représente la vraie échelle log.log
      et log (comme le papier spécial RRB).            
        http://www.thecementgrindingoffice.com/fr/cvs.html      
                       
7   Régression linéaire et corrélation:            
    - Une régression linéaire (ou ligne de tendance) possède la formule suivante:      
     
             
                   
      Où:                
      m est la pente de la droite            
      b est l'ordonnée à l'origine            
    - m et b sont définis par la méthode des moindres carrés.        
    - L'équation pour calculer m est la suivante:          
     
           
                 
                 
    - L'équation pour calculer b est la suivante:          
     
             
                   
                   
      Où n est le numéro de tamis            
    - Pour vérifier si la ligne de tendance est en phase avec les données réelles (taille des particules, résidus cumulés
      en %), il est nécessaire de calculer la corrélation avec la formule suivante:      
     
         
               
               
               
    - Exemple:                
                     
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
     
       
             
             
     
         
               
               
    - On peut remarquer que les résultats sont les mêmes que ceux de la ligne de tendance du graphique Excel ci-dessus.
    - Maintenant, nous devons vérifier si la corrélation r est bonne:        
     
   
         
         
     
             
                   
    - La ligne de tendance est bonne.            
                       
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